Физики продолжают шутить   ::   Сборник переводов

Теорема



Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путем вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.

Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.

Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведем пример развернутой логической системы.

Лемма 1



Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).

Доказательство



Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P ( k ) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k  + 1 лошадей имеют ту же масть. Возьмем множество, состоящее из k  + 1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся k лошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернем удаленную лошадь в множество, а вместо нее удалим Другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберем все k  + 1 множеств, в каждом по k лошадей.