ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ   ::   Соловьев Александр

Увы, приводить примеры множеств, имеющих бесконечную мощность, используя березки и студентов, не получится вообще, а звезды далеки и видны только ночью. Поэтому обратимся для наглядности к находящимся рядом с нами числам.

Пересчитывая что-то мы используем целые (положительные) числа 1, 2, 3… Их еще называют «натуральными». Странные американцы любят начинать этот ряд с нуля (и заразили этим, например, всю вычислительную технику). Их не смущает, что «3-блок» на самом деле 4-ый по счету… Впрочем, нам сейчас все равно! При добавлении или удалении нуля ничего не меняется.

Главное, мы знаем, что чисел нам хватит для пересчета чего угодно. Мы также знаем, что это множество бесконечное. Кантор назвал это множество СЧЕТНЫМ и его мощность – мощностью счетного множества.

Мощность этого множества Кантор взял за эталон и стал сравнивать ее с мощностями других множеств.

Во-первых, он установил, что эта мощность больше мощности любого конечного множества (студентов, березок и т.п.).

Во-вторых, и это любопытно, он доказал, что многие бесконечные множества имеют ту же мощность (то же «количество» элементов), что и счетное. Один из самых поразительных примеров – это то, что множество целых положительных чисел имеет столько же элементов, сколько и множество целых четных положительных чисел! То есть они равномощны!

Действительно, запишем друг под другом:

1 2 3 4…

2 4 6 8…

Ясно, что обе последовательности имеют одинаковое количество элементов, поскольку любому числу первой, ВСЕГДА соответствует строго одно число второй последовательности.