ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ   ::   Соловьев Александр

Дело в том, что если построить множество всех подмножеств конкретного множества, то всегда получите множество БОЛЬШЕ исходного.

Например, возьмем множество из 2-х элементов: РАЗ, ДВА (и обчелся). Подмножествами этого множества будут 4 множества(!):

1) РАЗ, ДВА – (любое множество подмножество самого себя)

2) РАЗ

3) ДВА

4) пустое – (т.е. «обчелся»).

Другой пример: А И Б (сидели на трубе)

Подмножествами этого множества из трех элементов будет 8 множеств:

1) А, И, Б

2) А, И

3) А, Б

4) И, Б

5) А

6) И

7) Б

8) пустое

Из четырех элементов получилось бы 16 элементов. И этот ряд можно бесконечно продолжить, как ряд степеней числа 2.

Так вот, Кантор и доказал, что если взять бесконечное множества счетной мощности, например, множество целых положительных чисел и построить (разумеется, умозрительно) множество, содержащее в качестве элементов все подмножества этого множества, то получим мощность БОЛЬШУЮ , чем счетная мощность. В принципе не существует способа пересчитать (пусть в бесконечности) такое множество. В нем всегда больше элементов. Эта новая большая мощность называется мощностью КОНТИНУУМА .

И снова житейский парадокс. Мощность континуума имеет, например, множество точек прямой или множество действительных чисел, что то же самое. Более того, любой отрезок числовой оси, даже такой малюсенький отрезок, как отрезок от 0 до 1, имеет мощность континуума, то есть на нем больше чисел, чем найдется чисел в счетном множестве.