Диалоги (август 2003 г.)   ::   Гордон Александр

В этом случае объём тетраэдра может меняться от нуля до бесконечности и, следовательно, между шестью расстояниями нет никакой связи.

Но если мы рассмотрим пятиточечный корт и измерим десять расстояний между его пятью точками, то мы обнаружим существование вполне определённой связи между десятью расстояниями пятиточечного корта. Эта связь и есть простейший закон трёхмерной евклидовой геометрии.

Аналогичным свойством возникновения закона при достижении векторного корта определённой длины обладает множество векторов в n-мерном линейном пространстве: если длина корта меньше или равна размерности линейного пространства, то векторы этого корта линейно независимы и между их скалярными произведениями нет никакой связи; если же длина векторного корта больше размерности линейного пространства, то векторы этого корта линейно зависимы и между их скалярными произведениями есть вполне определённая связь (обращение в ноль определителя Грама). А это и есть простейший закон, которому подчиняются векторы n-мерного линейного пространства.

Однако множества точек евклидовой прямой, евклидовой плоскости и трёхмерного евклидова пространства обладают ещё одним замечательным свойством.