Принцесса или тигр   ::   Смаллиан Рэймонд

Такое число должно было бы порождать двойной ассоциат числа X, который представляет собой число вида Х2Х2Х2Х и имеет длину 4h+3, где А — длина числа X. С другой стороны, нам необходимо взять такое число, чтобы оно порождало число 332Х, которое в свою очередь имеет длину h+3? Вполне очевидно, что при любых положительных h величина 4h+3 всегда больше, чем h+З, и потому число 332Х будет порождать число, в котором окажется слишком много цифр. То же самое можно сказать, по поводу числа вида 3332Х, а также чисел, начинающихся с четырех и более троек, для них соответствующие расхождения по длине окажутся еще большими. Значит, единственной возможностью для нас остается число вида 32Х (очевидно, что число вида 2Х нам также не годится, поскольку оно не может порождать само себя — ведь оно порождает число X). Далее, число 32Х порождает число Х2Х, и, кроме того, требуется, чтобы оно порождало само себя, то есть опять 32Х. Поэтому числа 32Х и Х2Х должны совпадать. Обозначим через Л длину числа X, тогда число 32Х имеет длину h+2, а число Х2Х — длину 2h+1. При этом должно выполняться условие 2h+1 = h+2, откуда сразу следует, что h равно 1. Стало быть, число X состоит из одной-единственной цифры. Наконец, для какой цифры а имеет место условие a2a = 32a? Ясно, что а в этом случае должно быть тройкой. Итак, число 323 является единственным решением данной задачи.

5. Возьмем в качестве N число 3273. Это число порождает ассоциат числа 73, то есть число 73273, которое в свою очередь можно представить как 7N. Итак, число 73273 есть решение нашей задачи.