JК
В поисках похищенной марки :: Левшин Владимир Артурович
Страница: 100 из 194Надо основание степени возвести в степень, на единицу меньшую, затем вычесть отсюда основание и, наконец, прибавить единицу. Вот, скажем, чтобы возвести 5 в четвёртую степень, надо сперва возвести 5 в третью степень (то есть понизить четвёртую степень на единицу). 5^3 — это будет 125. Теперь вычтем отсюда основание, то есть 5, получим 120. Прибавим к 120 единицу, получим 121. Вот мы и нашли первое число, с которого надо начинать разложение степени.
— Я это правило знаю, — сказал Олег, — но только для квадратов чисел. Там всегда надо начинать с единицы. 5^2=1+3+5+7+9.
— Ну конечно, — подтвердила Таня, — ведь 5-5+1=1. Кроме того, это правило вытекает из формулы суммы арифметической прогрессии.
— Совершенно верно. И мне довелось обобщить это правило для любой степени, — сказал я. — Особенно любопытно получается разложение третьих степеней. Вот смотрите:
1^3=1
2^3= 3+5
3^3= 7+9+11
4^3= 13+15+17+19
и так далее…
— Да ведь отсюда легко получить знаменитое восточное равенство! — обрадовался Олег:
1^3+2^3+3^3+4^3+… = (1+2+3+4+…)^2.
Не скрою, мне было очень приятно, что ребята сразу же с увлечением принялись блуждать в увлекательном лабиринте чисел.
— Любопытных зависимостей в числах можно найти множество, — сказал я, — надо только внимательно в них всматриваться. Что до меня, то из своей теоремы я извлёк много разных разностей. Но говорить о них сейчас мне не хочется — покопайтесь-ка в этом сами! А в те, двадцатые годы я очень гордился своими изысканиями.
— Я это правило знаю, — сказал Олег, — но только для квадратов чисел. Там всегда надо начинать с единицы. 5^2=1+3+5+7+9.
— Ну конечно, — подтвердила Таня, — ведь 5-5+1=1. Кроме того, это правило вытекает из формулы суммы арифметической прогрессии.
— Совершенно верно. И мне довелось обобщить это правило для любой степени, — сказал я. — Особенно любопытно получается разложение третьих степеней. Вот смотрите:
1^3=1
2^3= 3+5
3^3= 7+9+11
4^3= 13+15+17+19
и так далее…
— Да ведь отсюда легко получить знаменитое восточное равенство! — обрадовался Олег:
1^3+2^3+3^3+4^3+… = (1+2+3+4+…)^2.
Не скрою, мне было очень приятно, что ребята сразу же с увлечением принялись блуждать в увлекательном лабиринте чисел.
— Любопытных зависимостей в числах можно найти множество, — сказал я, — надо только внимательно в них всматриваться. Что до меня, то из своей теоремы я извлёк много разных разностей. Но говорить о них сейчас мне не хочется — покопайтесь-ка в этом сами! А в те, двадцатые годы я очень гордился своими изысканиями.