Журнал Компьютерра -37   ::   Компьютерра

Сделать это очень сложно, если вообще возможно, — как сравнивать? Но можно установить некоторые свойства объектов, и если эти свойства окажутся не идентичными, то и исходные объекты, очевидно, не равны. Например, проверить, совпадают ли два текста, можно, сравнив их объем. Если размер текстов отличается — в них можно и не заглядывать. В алгебраической геометрии одними из простейших инвариантов являются размерность или связность искомого множества.

Обратное, разумеется, неверно: из равенства двух инвариантов нельзя ничего заключить о равенстве исходных объектов. Но и такое частичное знание — уже хорошо. А полное счастье настанет, если все же удастся доказать обратное утверждение (иными словами, если избранный набор инвариантов будет однозначно задавать исходный объект). Гипотеза Ходжа — как раз одно из таких заманчивых утверждений. Если она окажется верной, изучение большого и сложного класса алгебраических многообразий (так называют множества, составленные из кусочков, каждый из которых является множеством решений каких-либо полиномиальных уравнений) фактически сведется к изучению гораздо более простых объектов.

Теперь о текущем статусе гипотезы. В предыдущих статьях мы говорили о гипотезе Римана и уравнении Навье-Стокса. В гипотезу Римана верят все математики. В единственность решения уравнений Навье-Стокса — тоже (по крайней мере, при достаточных для практических применений условиях). Гипотеза Ходжа выбивается из этого ряда.