Журнал Компьютерра - 6 от 14 февраля 2006 года   ::   Компьютерра

Например, если говорят, что алгоритм выполняется за время O(n•log n) на данном множестве задач, это означает, что существует некоторая константа C, единая для этого множества задач и такая, что алгоритм решает каждую из них не больше, чем за C•n•log n операций, где n — объем начальных данных задачи]. Неформально говоря, в рамках этой теории любые алгоритмы, работающие с «полиномиальной скоростью», считаются быстрыми (хотя на практике время их работы может быть неприемлемо большим). Класс задач, для которых существуют алгоритмы, решающие их за время, полиномиальное от размера входа, и есть тот самый класс P, о котором идет речь в формулировке нашей проблемы.

К классу P принадлежат очень многие известные задачи, — каждый, кто открывал учебники по программированию, помнит, сколько там алгоритмов, работающих за полиномиальное время. В статье «Теория и практика сложности» («КТ» #603) я уже писал о том, что Леонид Хачиян доказал, что в классе P лежит даже кажущаяся неприступно сложной задача линейного программирования.

Однако понять, что такое P, — это еще цветочки. Труднее дать определение класса NP. Формально оно звучит так: это класс задач, которые решаются за полиномиальное время на так называемых недетерминированных машинах Тьюринга. Можно довольно наглядно охарактеризовать эти задачи, используя понятие машины с подсказкой, хоть это и потребует некоторых усилий.

Рассмотрим для примера задачу выяснения истинности высказывания «заданное число — составное» (то есть у него есть нетривиальные простые делители). Это вычислительно сложная задача (по крайней мере, считается таковой).