Искусство философствования   ::   Рассел Бертран

Посредством наблюдения Кеплер доказал, что траекторией движения планет вокруг Солнца является эллипс, и открыл взаимосвязь расстояния планеты до Солнца и времени, в течение которого эта планета совершает полный оборот вокруг Солнца. Это открытие позволило Ньютону с помощью дифференциального исчисления определять скорость движения планеты в любой точке ее траектории; эта скорость непостоянна – она увеличивается по мере приближения планеты к Солнцу. Затем, еще раз использовав дифференциальное исчисление, Ньютон смог определить ускорение планеты в каждый момент времени, т. е. изменение ее скорости и по величине, и по направлению. Он обнаружил, что любая планета в любой момент времени обладает ускорением в направлении Солнца, которое обратно пропорционально квадрату ее расстояния до Солнца.

Затем с помощью интегрального исчисления Ньютон проанализировал другую задачу: если в любой момент времени тело обладает ускорением в направлении Солнца, которое обратно пропорционально квадрату его расстояния до Солнца, то по какой траектории оно будет двигаться? Ньютон доказал, что тело за равные промежутки времени будет покрывать равные по площади конические сечения. Наблюдение показало, что для планет и некоторых комет этим коническим сечением является эллипс; для некоторых других комет траекторией может быть гипербола. Это дополнение стало завершающим этапом в доказательстве закона тяготения Ньютона.

Однако исчисление применяется не только к изменению во времени. Оно применимо в любом таком случае, когда одна величина является «функцией» другой. Понятие «функции» очень важно, и я попытаюсь его объяснить.