Принцесса или тигр   ::   Смаллиан Рэймонд

Для любой правильной системы, удовлетворяющей условиям G1, G2 и G3, должно существовать утверждение, которое является истинным, но недоказуемым в данной системе.

Доказательство теоремы G представляет собой простое обобщение доказательства, которое уже известно читателю для системы Фергюссона. Обозначим через К множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит множеству Р. Поскольку множество Р (согласно условию G1) именуемо в данной системе, то же можно сказать и о его дополнении Р (согласно условию G2), а следовательно, и о множестве Р* (согласно условию G3). Но множество Р* совпадает с множеством К (поскольку Р* — это множество таких чисел х, для которых х* х принадлежит Р, или, другими словами, множество таких чисел х, для которых элемент х*х не принадлежит Р). Таким образом, множество К допускает наименование в данной системе, откуда следует, что К = А* по крайней мере для одного числа k. (Для системы Фергюссона одним из таких чначений k было число 73, другим — число 75.) Таким образом, для любого числа х истинность утверждения x Є Ak равносильна утверждению, что число х*х не принадлежит Р, а это в свою очередь означает, что утверждение x Є Ax недоказуемо (в данной системе). В частности, если мы возьмем в качестве х число k то истинность утверждения k Є A* будет равносильна его недоказуемости в данной системе, что означает либо истинность, но недоказуемость этого утверждения, либо его ложность, но доказуемость в той же системе.