JК
Принцесса или тигр :: Смаллиан Рэймонд
Страница: 207 из 257)
Утверждения Гёделя и теорема Тарского
Рассмотрим теперь систему, удовлетворяющую условиям G2; и G3 (условие G1 пока несущественно). Ранее мы определили Р как множество гёделевых номеров всех утверждений, доказуемых в данной системе; пусть теперь Т будет множеством гёделевых номеров всех истинных утверждений в этой системе. В 1933 г. логик Альфред Тарский поставил вопрос: «Именуемо ли множество Т в данной системе или нет?» — и ответил на него. Ответ может быть получен на основе лишь условий G2 и G3. Однако, прежде чем говорить об этом, обратимся сначала к вопросу не меньшей важности— о системах, которые удовлетворяют по крайней мере условию G3.
Для любого заданного утверждения X и любого множества положительных целых чисел А мы будем называть X гёделевым утверждением для A, если либо X истинно и его гёделев номер принадлежит A, либо X ложно и его гёделев номер не принадлежит A. (Подобное утверждение можно представлять себе как высказывание о том, что его собственный гёделев номер принадлежит A: если это утверждение истинно, то его гёделев номер действительно принадлежит A; если же оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит A.) Далее, мы будем называть систему гёделевой в том случае, если для каждого множества Л, допускающего наименование в этой системе, существует хотя бы одно гёделево утверждение для A.
При этом самым существенным для нас пунктом является следующая теорема.
Теорема С. Если система удовлетворяет условию G3, то эта система является гёделевой.
Утверждения Гёделя и теорема Тарского
Рассмотрим теперь систему, удовлетворяющую условиям G2; и G3 (условие G1 пока несущественно). Ранее мы определили Р как множество гёделевых номеров всех утверждений, доказуемых в данной системе; пусть теперь Т будет множеством гёделевых номеров всех истинных утверждений в этой системе. В 1933 г. логик Альфред Тарский поставил вопрос: «Именуемо ли множество Т в данной системе или нет?» — и ответил на него. Ответ может быть получен на основе лишь условий G2 и G3. Однако, прежде чем говорить об этом, обратимся сначала к вопросу не меньшей важности— о системах, которые удовлетворяют по крайней мере условию G3.
Для любого заданного утверждения X и любого множества положительных целых чисел А мы будем называть X гёделевым утверждением для A, если либо X истинно и его гёделев номер принадлежит A, либо X ложно и его гёделев номер не принадлежит A. (Подобное утверждение можно представлять себе как высказывание о том, что его собственный гёделев номер принадлежит A: если это утверждение истинно, то его гёделев номер действительно принадлежит A; если же оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит A.) Далее, мы будем называть систему гёделевой в том случае, если для каждого множества Л, допускающего наименование в этой системе, существует хотя бы одно гёделево утверждение для A.
При этом самым существенным для нас пунктом является следующая теорема.
Теорема С. Если система удовлетворяет условию G3, то эта система является гёделевой.