JК
Принцесса или тигр :: Смаллиан Рэймонд
Страница: 211 из 257(Поскольку оно ложно, оно так же недоказуемо и, следовательно, неразрешимо в данной системе.) Следует отметить, что те системы, которые рассматриваются в оригинальной работе Гёделя, удовлетворяют всем четырем условиям — G1, G2, G3 и G1, так что для построения неразрешимых утверждений можно использовать как тот, как и другой метод.
2. Высказывание, которое утверждает собственную недоказуемость, можно сравнить со словами того обитателя острова рыцарей и плутов, который заявляет, будто он непризнанный рыцарь, точно гак же высказывание, утверждающее свою собственную опровержимость, можно уподобить словам такого обитателя острова, который шявляет, что он отъявленный плут; этот человек и в самом деле мошенник, но неотъявленный. (Предоставляю читателю возможность доказать это самому.)
Решения
1. Предположим, система действительно удовлетворяет условию G3. Пусть S—любое множество, именуемое в данной системе. Тогда, согласно условию G3, множество S* тоже именуемо в этой системе. Значит, существует такое число b, для которого Аb = 8*. Далее, число х принадлежит множеству S* только в том случае, если число х*х принадлежит множеству S.
Поэтому х принадлежит множеству Аb только в том случае, если х*х принадлежит S. В частности, если в качестве х выбрать число b, то это число принадлежит; множеству Ab, только в том случае, если число b* принадлежит множеству S. Кроме того, число b принадлежит Ab в том и только том случае, если утверждение b Є Аb истинно.
2. Высказывание, которое утверждает собственную недоказуемость, можно сравнить со словами того обитателя острова рыцарей и плутов, который заявляет, будто он непризнанный рыцарь, точно гак же высказывание, утверждающее свою собственную опровержимость, можно уподобить словам такого обитателя острова, который шявляет, что он отъявленный плут; этот человек и в самом деле мошенник, но неотъявленный. (Предоставляю читателю возможность доказать это самому.)
Решения
1. Предположим, система действительно удовлетворяет условию G3. Пусть S—любое множество, именуемое в данной системе. Тогда, согласно условию G3, множество S* тоже именуемо в этой системе. Значит, существует такое число b, для которого Аb = 8*. Далее, число х принадлежит множеству S* только в том случае, если число х*х принадлежит множеству S.
Поэтому х принадлежит множеству Аb только в том случае, если х*х принадлежит S. В частности, если в качестве х выбрать число b, то это число принадлежит; множеству Ab, только в том случае, если число b* принадлежит множеству S. Кроме того, число b принадлежит Ab в том и только том случае, если утверждение b Є Аb истинно.