JК
Принцесса или тигр :: Смаллиан Рэймонд
Страница: 213 из 257Таким образом, гёделево утверждение для R — это ни больше ни меньше как утверждение, которое истинно в том и только том случае, если оно недоказуемо в (данной системе, а такое утверждение (как мы уже видели) как раз и должно быть истинным, но недоказуемым в этой системе (если система правильна).
Итак, фактически суть доказательства Гёделя состоит в построении гёделева утверждения для множества Р.
4. Очевидно, что всякое утверждение X является гёделевым утверждением для множества Т, потому что если X истинно, то его гёделев номер принадлежит Т, а если оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит Т. (cследовательно, ни одно утверждение не может оказаться гёделевым для Т, потому что не может существовать ни истинного утверждения Х, гёделев номер которого принадлежал бы множеству Т, ни ложного утверждения X, гёделев номер которого не принадлежал бы множеству Т.
Читателю будет поучительно убедиться, что для любого множества чисел А и для любого утверждения X это X может являться гёделевым утверждением либо для А, либо для А, но никак не для обоих множеств сразу.
5. Рассмотрим сначала произвольную систему, удовлетворяющую условию G3. В соответствии с решением задачи 1 для любого множества, именуемого в рамках данной системы, существует гёделево утверждение. Кроме того, согласно решению задачи 4 не существует гёделева утверждения для множества Т. Следовательно, если система удовлетворяет условию G3, то множество Т не допускает имени в этой системе.
Итак, фактически суть доказательства Гёделя состоит в построении гёделева утверждения для множества Р.
4. Очевидно, что всякое утверждение X является гёделевым утверждением для множества Т, потому что если X истинно, то его гёделев номер принадлежит Т, а если оно ложно, то его гёделев номер не принадлежит Т. (cследовательно, ни одно утверждение не может оказаться гёделевым для Т, потому что не может существовать ни истинного утверждения Х, гёделев номер которого принадлежал бы множеству Т, ни ложного утверждения X, гёделев номер которого не принадлежал бы множеству Т.
Читателю будет поучительно убедиться, что для любого множества чисел А и для любого утверждения X это X может являться гёделевым утверждением либо для А, либо для А, но никак не для обоих множеств сразу.
5. Рассмотрим сначала произвольную систему, удовлетворяющую условию G3. В соответствии с решением задачи 1 для любого множества, именуемого в рамках данной системы, существует гёделево утверждение. Кроме того, согласно решению задачи 4 не существует гёделева утверждения для множества Т. Следовательно, если система удовлетворяет условию G3, то множество Т не допускает имени в этой системе.