JК
Принцесса или тигр :: Смаллиан Рэймонд
Страница: 209 из 257Может ли читатель сообразить, как это сделать?
Двойственная форма доказательства Гёделя
Те системы, которые, как доказал Гёдель, являются неполными, обладают также следующим свойством: с каждым утверждением X связано утверждение X', о называется отрицанием X, которое истинно в том только том случае, если утверждение X ложно. Дале, если X' — отрицание некоего утверждения X — доказуемо в данной системе, то само утверждение X называется опровержимым в данной системе. Если предположить, что система правильна, то ни одно ложно, утверждение в этой системе не будет доказуемо и ни одно истинное утверждение не будет в ней опровержимо. Ранее мы убедились, что условия G1, G2 и G3 влекут за собой существование некоего гёделева утверждения, или высказывания, G для множества, также что такое утверждение G является истинным, не. недоказуемым в данной системе (предполагая, конечно, что система правильна). Но поскольку G истинно, оно не может быть опровержимым в этой системе (опять, же в предположении правильности системы). Значит утверждение G в данной системе и не доказуемо, и неопровержимо. (Такое утверждение называется неразрешимым в данной системе.)
В своей монографии «Теория формальных систем»[! Смальян Р. Теория формальных систем. Пер. с англ. — М.: Наука, 1981.!] (1960 г.) я рассматривал «двойственную» форму доказательства Гёделя, а именно: что будет, если вместо высказывания, утверждающего свою недоказуемость, построить высказывание, утверждающее свою опровержимость? Более строго эту проблему можно сформулировать так.
Пусть R — множество гёделевых номеров опровержимых утверждений. Предположим, что X — гёделево утверждение для R.
Двойственная форма доказательства Гёделя
Те системы, которые, как доказал Гёдель, являются неполными, обладают также следующим свойством: с каждым утверждением X связано утверждение X', о называется отрицанием X, которое истинно в том только том случае, если утверждение X ложно. Дале, если X' — отрицание некоего утверждения X — доказуемо в данной системе, то само утверждение X называется опровержимым в данной системе. Если предположить, что система правильна, то ни одно ложно, утверждение в этой системе не будет доказуемо и ни одно истинное утверждение не будет в ней опровержимо. Ранее мы убедились, что условия G1, G2 и G3 влекут за собой существование некоего гёделева утверждения, или высказывания, G для множества, также что такое утверждение G является истинным, не. недоказуемым в данной системе (предполагая, конечно, что система правильна). Но поскольку G истинно, оно не может быть опровержимым в этой системе (опять, же в предположении правильности системы). Значит утверждение G в данной системе и не доказуемо, и неопровержимо. (Такое утверждение называется неразрешимым в данной системе.)
В своей монографии «Теория формальных систем»[! Смальян Р. Теория формальных систем. Пер. с англ. — М.: Наука, 1981.!] (1960 г.) я рассматривал «двойственную» форму доказательства Гёделя, а именно: что будет, если вместо высказывания, утверждающего свою недоказуемость, построить высказывание, утверждающее свою опровержимость? Более строго эту проблему можно сформулировать так.
Пусть R — множество гёделевых номеров опровержимых утверждений. Предположим, что X — гёделево утверждение для R.