JК
Принцесса или тигр :: Смаллиан Рэймонд
Страница: 215 из 257Но поскольку это число n не принадлежит Р, то утверждение X должно быть недоказуемым в данной системе. Значит, утверждение X истинно, но недоказуемо в данной системе. Итак, теорема G действительно имеет место.
7. Пусть теперь нам даны условия G1 и G3.
а. Согласно условию G1, множество R именуемо в данной системе. Тогда, согласно условию G5, множество R* также допускает имя в рамках этой системы. Следовательно, существует такое число Н, при котором Ah = R*. Далее, по определению множества R* число х принадлежит R* в том и только том случае, если число х*х принадлежит множеству R. Поэтому для любого а это х принадлежит Ah в том и только том случае, если число х*х входит в множество R. В частности, если к качестве x выбратьh, то число h будет принадлежать, Ah, в том и только том случае, если число h*h входит в R. Далее, h принадлежит Ah в том и только том случае, если утверждение h Є Ah, истинно. С другой стороны, поскольку число h*h есть гёделев номер утверждения h Є Ah, то h*h входит в R в том и только в том случае, если утверждение h Є Ah опровержимо. Значит, утверждение h Є Ah истинно в том и только в том случае, если оно опровержимо. Отсюда следует, что данное утверждение либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Однако оно не может быть истинным и опровержимым, поскольку наша система правильна по условию задачи; следовательно, оно должно быть ложным и неопровержимым. Наконец, раз это утверждение ложно, оно не может быть и доказуемым (опять же потому, что система правильна). Таким образом, утверждение h Є Ah, недоказуемо и неопровержимо (и, кроме того, оно ложно).
б.
7. Пусть теперь нам даны условия G1 и G3.
а. Согласно условию G1, множество R именуемо в данной системе. Тогда, согласно условию G5, множество R* также допускает имя в рамках этой системы. Следовательно, существует такое число Н, при котором Ah = R*. Далее, по определению множества R* число х принадлежит R* в том и только том случае, если число х*х принадлежит множеству R. Поэтому для любого а это х принадлежит Ah в том и только том случае, если число х*х входит в множество R. В частности, если к качестве x выбратьh, то число h будет принадлежать, Ah, в том и только том случае, если число h*h входит в R. Далее, h принадлежит Ah в том и только том случае, если утверждение h Є Ah, истинно. С другой стороны, поскольку число h*h есть гёделев номер утверждения h Є Ah, то h*h входит в R в том и только в том случае, если утверждение h Є Ah опровержимо. Значит, утверждение h Є Ah истинно в том и только в том случае, если оно опровержимо. Отсюда следует, что данное утверждение либо истинно и опровержимо, либо ложно и неопровержимо. Однако оно не может быть истинным и опровержимым, поскольку наша система правильна по условию задачи; следовательно, оно должно быть ложным и неопровержимым. Наконец, раз это утверждение ложно, оно не может быть и доказуемым (опять же потому, что система правильна). Таким образом, утверждение h Є Ah, недоказуемо и неопровержимо (и, кроме того, оно ложно).
б.