Православное мировоззрение и современное естествознание   ::   Священник Тимофей

Вы уже знаете, что это свойство показательной функции.

Для удобства решения (4) произведем в нем замену переменной. Введем новую переменную

 z = и – kс.  (5)



Возьмем производную от обеих частей:

 z' = –  kc.  (6)



Теперь подставим в (4) и получим:

 z' = –  kz.  (7)



Мы догадываемся, что функция z есть экспонента.

И действительно, уравнению (7) удовлетворит любая функция вида z = A·exp (- kt), в чем легко убедиться, взяв от нее производную. Нужно только полагать, что постоянная А не зависит от времени.

Чтобы теперь найти нужное из множества решений дифференциального уравнения – иными словами, чтобы определить нужное нам значение постоянной А, используем начальное условие.

Но для этого вернемся к прежней переменной с вместо z. Получим:

 и – кс = A·exp ( –  kt)  (8)



Наше начальное условие есть предположение о том, что при при t=0 и с =0 . Подставив эти значения в (8), получим, что А = и. Иными словами,

  и – kс = и· exp ( –  kt)  (9)



или, разрешая относительно с:

  c  = ( u/k ) ·( 1 – exp (– kt))  (10)



График этой функции очень похож на зависимость скорости изменения концентрации от времени, который мы уже разбирали на уроке (рис. 10). Ясно, что так и должно быть, если скорость пропорциональна концентрации, т.е. производная функции пропорциональна ей самой. Концентрация стремится к своему равновесному значению.