Искусство философствования   ::   Рассел Бертран

Я до сих пор ничего не говорил об алгебре, которая зародилась во времена поздних александрийских греков, но в целом была разработана сначала арабами, а потом учеными в XVI и XVII вв. Алгебра кажется более сложной, чем геометрия, потому что геометрия имеет дело с конкретными видимыми фигурами, в то время как x и y в алгебре – совершенно абстрактные сущности. Но алгебра всего лишь обобщенная арифметика: когда существует некоторое суждение, истинное в отношении любого числа, то пустой тратой времени будет доказательство истинности этого суждения относительно каждого конкретного числа, поэтому мы говорим «пусть х будет любым числом» и продолжаем наше рассуждение. Предположим, например, вы заметили, что 1 + 3 = 4, что есть 22; 1 + 3 + 5 = 9, что есть У; 1 + 3 + 5 + 7 = 16, что есть 42. Удивившись, вы захотите предположить, не является ли это общим правилом. В этом случае вам нужна алгебра, чтобы выразить все эти конкретные примеры в одном простом вопросе, который вы зададите самому себе: «Всегда ли сумма первых п нечетных чисел равна n2?» Когда вы сможете понять этот вопрос, то легко найдете доказательство тому, что ответом будет да. Если вы не используете букву n, то вынуждены будете использовать очень сложный язык. Вы можете сказать: «Если сложить любое количество нечетных чисел, начиная с 1 и не считая 0, то сумма будет равна квадрату числа сложенных нечетных чисел». Это суждение гораздо труднее понять.