Диалоги (июнь 2003 г.)   ::   Гордон Александр

Обычно люди считают, что каждое высказывание можно каким-то правдоподобным образом оценить, является оно истинным или ложным. Конечно, можно накладывать определённые условия и так далее, но можно оценить, вернее, можно придать истинностное значение – истинное или ложное это высказывание. Но ещё со времён греков известен «парадокс лжеца». Один критянин говорит: «все критяне – лжецы». Что соответствовало исторической легенде, по крайней мере. Простодушная попытка оценить, истинно это высказывание или нет, показывает, что не всё так просто. Если он сказал правду, значит, он критянин и сказал правду. Хорошо, а если он обманул, тогда приходим к другому противоречию.

И теорема Гёделя, во всяком случае, её доказательство, используя определённые находки, довольно любопытные технические находки, в некотором смысле моделирует этот парадокс. У Гильберта, которого я уже упоминал, была уверенность, что можно создать такую систему аксиом для всей математики, из которой будут следовать все математические утверждения. Это такая вера была. И он предложил программу формализации математики. А Гёдель, собственно, его опроверг. Он показал, что если аксиоматическая система достаточно богата, то в ней обязательно можно сформулировать утверждение, которое не может быть доказано, но которое будет верным. А в основе этого лежит следующее, что и для этого требуется не весь язык математики, а язык, который говорит просто о натуральных числах, 0, 1, 2, 3, о сложении и умножении.